Урок на тему: "Пирамида. Розвязування задач"

цель:

• продолжить работу над усвоения учащимися понятия пирамиды и ее элементов, дополнить знания учащихся через знакомство с отдельными видами пирамид, а именно:

- пирамидами, в которых высота принадлежащая одному или двум боковым граням;

- пирамидами, в которых основой высоты есть центр окружности, описанной около пирамиды;

- пирамидами, в которых основой высоты есть центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

• развивать умение учащихся вычислять площади боковой и полной поверхностей пирамиды;
• воспитывать настойчивость, самостоятельность, усердие в учебе.

Тип урока: комбинированный.

Ход урока

И. Организационный этап (1-2 мин)

Проверка готовности учащихся к уроку. Настройка на работу.

ИИ. Проверка домашнего задания (3-4 мин)

Проверку усвоения учащимися теоретического материала проводим в форме фронтальной беседы.

1. Сформулируйте определение пирамиды (основы, вершины, боковых граней, ребер, высоты). (Пирамидой называют многогранник, у которого одна из граней (которую называют основой) - произвольный многоугольник, остальные грани - треугольники с общей вершиной.)
2. Существует пирамида, все грани которой равны? (Да)
3. Существует пирамида, которая не имеет никакого диагонального сечения? (Да)
4. Существует пирамида, основание высоты которой размещена вне плоскости основания пирамиды? (Да)

ИИИ. Формулировка цели и задач урока (3-4 мин)

Задача. Основой пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13см. Вычислите высоту пирамиды.

Для того, чтобы найти длину высоты пирамиды, необходимо ее построить. Возникает вопрос: где лежит основание высоты пирамиды? Следовательно, задачей урока является изучение отдельных видов пирамиды с целью определения положения высоты (или основы высоты) пирамиды.

И V. Актуализация опорных знаний (5-7 мин)

фронтальный опрос

1. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

(Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Если катет и противоположный ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противоположном ему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.)

1. Сформулируйте теорему о трех перпендикуляры. (Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной)
2. Сформулируйте определение угла между прямой и плоскостью. (Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость)
3. Сформулируйте определение угла между плоскостями. (Углом между двумя плоскостями называется угол между прямыми, которые образуются при пересечении данных плоскостей третьей, проведенной перпендикулярно прямой пересечения первых двух плоскостей)
4. Воспользовавшись рисунком, укажите:

а) угол между боковым ребром АЕ и плоскостью основания пирамиды; (АЭС) б) угол между плоскостью С F Е и основанием пирамиды. (FED)

V. Дополнение знаний (8 -10 мин)

Отдельные виды пирамид

1. Если в пирамиде одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды относится плоскости этой грани и является перпендикуляром, проведенным с вершины пирамиды к прямой пересечения плоскости этой грани с плоскостью основания.

Замечания. Основа высоты пирамиды может лежать как на стороне основания пирамиды, так и на ее продолжении.

1. Если две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то прямая их пересечения содержит высоту пирамиды.
2. Если в пирамиде выполняется хотя бы одно из условий:

1) все боковые ребра равны;

2) все боковые ребра образуют одинаковые углы с плоскостью основания;

3) все боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды.

Замечания. Имеет место обратное утверждение.

1. Если высота лежит внутри пирамиды и выполняется хотя бы одно из условий:

1) все двугранные углы при основании пирамиды равны;

2) все высоты боковых граней, проведенные с вершины пирамиды, уровне;

3) все высоты боковых граней, проведенные с вершины пирамиды, образуют равные углы с высотой пирамиды;

4) высота пирамиды образует одинаковые углы с плоскостями всех боковых граней,

то основой высоты пирамиды есть центр окружности, вписанной в основание пирамиды

V и. Формирование умений (15 мин)

Выполнение устных упражнений

1. Высота пирамиды равна 6 см, а боковые ребра равны и равны 10см. Чему равна радиус окружности, описанной около основания пирамиды? (Ответ. 8 см).
2. Высота пирамиды равна 5 см, а все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45˚. Чему равна радиус окружности, вписанной в пирамиду? (Ответ. 5см).
3. Основой пирамиды является прямоугольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13см. Вычислить высоту пирамиды. (Ответ. 12см).

Выполнение письменных упражнений

1. Основой треугольной пирамиды является равносторонний треугольник со стороной 1 см. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а противоположная этого ребра боковая грань образует с плоскостью основания угол 60˚. Найти высоту пирамиды. (Ответ. 1,5 см).
2. Найти высоту, радиус окружности, описанной вокруг основания, острый угол наклона бокового ребра к плоскости основания и острый угол между плоскостями смежных боковых граней правильной четырехугольной пирамиды, длина бокового ребра которой равна 10 см, а площадь основания 25см².

Решение. На рисунке изображена правильная чотируктна пирамида ABCDE, площадь основания которой равна 25 см², а длина бокового ребра 10 см.

1. Если плошади квадрата BCDE равна 25 см², то его сторона равна 5 см. Радиус окружности, описанной около квадрата, равна половине диагонали этого квадрата, то есть (см).
2. Рассмотрим треугольник АОС, в нем, АС = 10 см, см

(См). Таким образом, высота пирамиды равна см.

Угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания найдем как, тогда.

1. Угол между соседними боковыми ребрами АС и AD пирамиды ABCDE совпадает с углом CАD при вершине равнобедренного треугольника ACD - одной из боковых граней пирамиды. Найдем косинус угла CАD за следствием из теоремы косинусов:, тогда.
2. Двугранный угол между плоскостями смежных боковых граней ADC и ADE измеряется своим линейным углом. Построим его. Проведем перпендикуляр из точки С до прямой AD в плоскости ADC и перпендикуляр из точки Е до прямой AD в плоскости ADE. Тогда будет линейным углом двугранного угла между плоскостями смежных боковых граней ADC и ADE. Найдем.
3. Методом вспомогательной площади вычислим высоту треугольника ADC:

,

отсюда (см).

Из равенства (по трем сторонам) треугольников ADC и ADE следует равенство.

Вычислим из треугольника, используя следствие из теоремы косинусов:

, Поскольку найдена величина отрицательная, то тупой. Острый угол между плоскостями смежных боковых граней ADC и ADE равен.

ответ:

Радиус окружности, описанной около основания пирамиды равна см;

угол наклона бокового ребра пирамиды к плоскости основания равен;

высота пирамиды равна см;

угол между соседними боковыми ребрами равен;

острый угол между плоскостями смежных боковых граней равна.

VII. Итоги урока. (2-3 мин)

Ответьте на вопрос:

1. Где находится основание высоты пирамиды, если:

а) все боковые ребра пирамиды равны или наклонены к плоскости основания под одним углом; (Основой высоты есть центр окружности, вписанной в основание пирамиды)

б) все боковые ребра образуют одинаковые углы с высотой пирамиды; (Основой высоты есть центр окружности, вписанной в основание пирамиды)

в) все боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом или высоты всех боковых граней равны; (Основой высоты есть центр окружности, вписанной в основание пирамиды)

г) высота пирамиды образует одинаковые углы с боковыми гранями или высотами боковых граней, проведенными с вершины пирамиды; (Основой высоты есть центр окружности, вписанной в основание пирамиды)

д) одна боковая грань перпендикулярна к плоскости основания; (Высота пирамиды принадлежит плоскости этой грани и является перпендикуляром, проведенным с вершины пирамиды к прямой пересечения плоскости этой грани с плоскостью основания)

е) две смежные боковые грани перпендикулярны? (прямая их пересечения содержит высоту пирамиды)

VIII. Домашнее задание (1-2 мин)

Изучить материал, рассмотренный на уроке.

Выполнить упражнения:

1. Основой треугольной пирамиды является равносторонний треугольник со стороной 7 см. Одно из боковых ребер пирамиды перпендикулярно к плоскости основания, а высота боковой грани, противоположной этого ребра равна 4 см. Найдите высоту пирамиды.
2. Основой пирамиды является прямоугольный треугольник с углом 60 °. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45 °. Высота пирамиды равна 10 см. Найдите катет, противоположный поданном углу.

ИХ. Оценка и мотивация (1 мин)

Оцениваю и мотивирую учеников